Matematica II SES/SG 2021/2022

Orario e modalità delle lezioni

Le lezioni si terranno in presenza in Aula 1 (Corrado Gini) edificio CU002 secondo il seguente orario

Lunedì 14-18

Mercoledì 15-18

e contemporaneamente in streaming sulla piattaforma Zoom collegandosi al seguente link.

La prima lezione è lunedì 21 febbrario 2022.

Ricevimento

Giovedì dalle 12 alle 14 nella stanza n. 9 della seconda ex-falegnameria (edificio CU036) oppure online su Zoom (scrivere a daniele.valeri@uniroma1.it per ricevere il link). Per un appuntamento per un orario diverso mandare una mail.

Libro di testo

Marcellini P., Sbordone C., Analisi Matematica uno, Liguori Editore.

Marcellini P., Sbordone C., Esercitazioni di Matematica primo volume (prima e seconda parte), Liguori Editore. (Facoltativo)

In alternativa qualsiasi altro testo o eserciziario di analisi matematica uno.

Prerequisiti

Logica elementare. Teoria elementare degli insiemi. Insiemi numerici. Principio di induzione. Equazioni e disequazioni. Trigonometria.

Per la parte di matematica elementare potete consultare le dispense dei precorsi.

Programma di massima del corso

Estremo superiore e inferiore. Successioni e loro limiti. Funzioni reali di una variabile reale. Limiti. Continuità. Teoremi fondamentali sulle funzioni continue. Derivate. Teoremi fondamentali sulle funzioni derivabili. Formula di Taylor. Massimi e minimi relativi e assoluti. Studio del grafico di una funzione. Serie numeriche. Criteri di convergenza. Serie di potenze. Serie di Taylor. Integrali definiti e indefiniti. Funzione integrale e teorema fondamentale. Integrali impropri. Equazioni differenziali ordinarie: equazioni a variabili separabili ed equazioni lineari del primo e del secondo ordine a coefficienti costanti.

Modalità d'esame

L'esame si compone di una prova scritta e di una prova orale.

La prova scritta comprende esercizi, applicazioni pratiche e quesiti di natura teorica. Durante la prova è possibile consultare un foglio A4 (due facciate) sul quale il candidato ha precedentemente annotato (a mano o stampato) tutto ciò che ritiene possa essere d'aiuto per svolgere l'esame. Non è possibile consultare altro o usare calcolatrici.

Per essere ammessi all'orale è necessario avere almeno 18/30 nello scritto. Il candidato che ha superato la prova scritta potrà verbalizzare il minimo fra il voto dello scritto e 24/30 senza sostenere la prova orale.

Il voto di uno scritto vale solo per gli appelli della sessione in cui si è svolto lo scritto: è possibile sostenere l'esame scritto al primo appello e (l'eventuale) orale al secondo appello nella stessa sessione di esami di giugno-luglio.

Prove passate

Appello straordinario dell'08/04/2022: prova scritta.

Appello del 15/06/2022: prova scritta, risultati.

Appello del 13/07/2022: prova scritta, risultati.

Appello del 12/09/2022: prova scritta, risultati.

I risultati contengono solo i voti maggiori o uguali a 18.

Prima lezione 21/02/2022

Numeri naturali, interi, razionali. Irrazionalità della radice di 2. Numeri reali: assiomi algebrici, di ordinamento e di completezza. L'assioma di completezza non vale per i numeri razionali. Funzione modulo e sue proprietà. Disuguaglianza triangolare.

Esercitazione di ripasso su equazioni con i moduli e disequazioni.

Seconda lezione 23/02/2022

Maggiorante e minorante, massimo e minimo, estremo superiore e estremo inferiore. Insiemi limitati e illimitati. Ogni insieme limitato superiormente (inferiormente) ammette estremo superiore (inferiore). Principio di Archimede. I numeri razionali sono densi nei reali.

Esercitazione su estremi superiore e inferiore.

Terza lezione 28/02/2022

Esercizi 1 e 2 lezione precedente. Principio di induzione. Disuguaglianza di Bernoulli.

Definizione di funzione. Composizione di funzioni e grafico di funzioni. Funzioni iniettive, suriettive e invertibili. Funzioni monotone e strettamente monotone. Legame tra stretta monotonia e invertibilità. Funzioni elementari: retta, funzione potenza, funzione esponenziale, funzione logaritmo.

Esercitazione.

Quarta lezione 02/03/2022

Funzioni trigonometriche e funzioni trigonometriche inverse.

Esercitazione su domini di funzioni e funzioni elementari.

Quinta lezione 07/03/2022

Alcuni richiami su esercizi della lezione precedente. Traslazione di grafici di funzioni. Funzioni pari e dispari.

Definizione di successione ed esempi. Limite finito di una successione e sua unicità. Successioni divergenti e successioni che non ammettono limite. Successioni limitate. Ogni successione convergente è limitata (il viceversa in generale non vale, vedi a_n=(-1)^n). Operazioni con i limiti. Forme indeterminate. Esempi: limiti di funzioni razionali e alcuni modi di trattare forme indeterminate.

Sesta lezione 09/03/2022

Teorema della permanenza del segno. Metodo del confronto e Teorema dei carabinieri. Il prodotto di una successione che tende a zero per una successione limitata tende a zero. Alcuni limiti notevoli.

Esercitazione sui limiti di successione (l'esercizio 2(v) nel pdf è leggermente diverso da quello apparso lezione).

Settima lezione 14/03/2022

Alcuni richiami su esercizi della lezione precedente.

Successioni monotone. Ogni successione limitata e monotona è convergente (il viceversa in generale non vale, vedi a_n=(-1)^n/n). Limite notevole che definisce il numero di Nepero. Criterio del rapporto. Infiniti di ordine crescente. Sottosuccessioni e Teorema di Bolzano-Weierstrass (senza dimostrazione).

Ancora esercizi sui limiti di successioni.

Ottava lezione 16/03/2022

Alcuni richiami su esercizi della lezione precedente.

Intorno di un punto e punti di accumulazione di un insieme. Limiti di funzioni e legame con i limiti di successioni. Esempi e proprietà dei limiti di funzione.

Esercitazione su limiti di funzioni.

Nona lezione 21/03/2022

Soluzione di alcuni esercizi della lezione precedente.

Funzioni continue ed esempi: polinomi, funzioni razionali, funzione potenza, funzioni esponenziale e logaritmo, e funzioni trigonometriche sono continue nel loro dominio. Funzioni discontinue ed esempi. Classificazione dei punti di discontinuità: discontinuità eliminabili e non eliminabili (prima specie e seconda specie). La funzione parte intera.

Teoremi sulle funzioni continue: teorema di permanenza del segno e teorema di esistenza degli zeri.

Esercitazione su funzioni continue/discontinue.

Decima lezione 23/03/2022

Teoremi sulle funzioni continue: Teorema di Weierstrass (senza dimostrazione) e Teorema di esistenza dei valori intermedi. Criterio di invertibilità per funzioni continue strettamente monotone. Limiti delle funzioni monotone. Criterio di continuità per le funzioni monotone . L'inversa di una funzione continua strettamente monotona è una funzione continua.

Esercitazione sulle funzioni continue e invertibili.

Undicesima lezione 28/03/2022

Derivata e suo significato. Derivabilità e continuità. Operazioni sulle derivate. Derivata di funzioni composte. Derivata di funzioni inverse (senza dimostrazione). Calcolo delle derivate di funzioni elementari.

Esercitazione su calcolo di derivate.

Dodicesima lezione 30/03/2022

Richiami su esercizi della lezione precedente.

Derivate di ordine superiore ed esempi. Significato geometrico della derivata: retta tangente.

Esercitazione su calcolo di derivate e rette tangenti.

Tredicesima lezione 04/04/2022

Massimo e minimo assoluti e relativi, e Teorema di Fermat. Teoremi di Rolle e Lagrange e interpretazione geometrica. Criterio di monotonia (con dimostrazione) e criterio di stretta monotonia (senza dimostrazione). Caratterizzazione delle funzioni costanti su un intervallo. Esempi.

Esercitazione sugli argomenti del giorno.

Quattordicesima lezione 06/04/2022

Funzioni concave e convesse e legame con la derivata seconda. Teorema di l'Hopital (dimostrazione usando ipotesi aggiuntive). Studio del grafico di una funzione: dominio, asintoti, crescenza/decrescenza, concavità/convessità.

Esercitazione sull'uso del teorema di l'Hopital e sullo studio di funzioni.

Quindicesima lezione 11/04/2022

Esempio di studio del grafico di una funzione.

Formula di Taylor. Resto di Lagrange (solo enunciato). Sviluppi di Tayolor delle funzioni elementari. Esercizi sulla formula di Taylor e calcolo di limiti.

Esercitazione sulla formula di Taylor.

Sedicesima lezione 13/04/2022

Richiami sulla formula di Taylor e esercizi della lezione precedente. Criterio per determinare massimi, minimi e flessi tramite le derivate. Riepliogo dei principali risultati riguardanti le funzioni continue e derivabili.

Esercizi di riepilogo su funzioni continue e derivabili.

Diciassettesima lezione 20/04/2022

Area di un settore di parabola con il metodo di esaustione. Definizione di funzione integrabile secondo Riemann. Proprietà dell'integrale definito: linearità, monotonia, relazione tra integrale del valore assoluto e valore assoluto dell'integrale. Criterio di integrabilità (senza dimostrazione). Le funzioni continue in un intervallo chiuso e limitato sono integrabili. Primo e secondo teorema della media integrale.

Diciottesima lezione 27/04/2022

Funzione integrale e primitive. Teorema fondamentale del calcolo integrale e formula fondamentale del calcolo integrale. Integrali indefiniti. Calcolo di integrali indefiniti di funzioni elementari. Integrazione per decomposizione in somma.

Esercizi su integrali definiti e indefiniti.

Diciannovesima lezione 02/05/2022

Integrazione delle funzioni razionali. Integrazione per parti.

Esercitazione sugli argomenti del giorno.

Ventesima lezione 04/05/2022

Soluzione di alcuni esercizi della lezione precedente.

Integrazione per sostituzione. Esempi di calcolo di aree di figure piane.

Esercitazione sull'integrazione per sostituzione.

Ventunesima lezione 09/05/2022

Integrale improprio.

Serie: definizioni, esempi e proprietà. Condizione necessaria per la convergenza di una serie. Serie a termini non negativi. La serie armonica generalizzata.

Esercitazione sugli integrali impropri.

Ventiduesima lezione 11/05/2022

Criteri di convergenza per serie a termini non negativi: criterio del confronto, degli infinitesimi, della radice e del rapporto. Serie di Taylor (solo definizione).

Esercitazione sui criteri di convergenza.

Ventitreesima lezione 16/05/2022

Risoluzione di alcuni esercizi delle lezioni 21 e 22.

Serie geometrica. Serie alternate e criterio di Leibniz. Convergenza assoluta. Se una serie è assolutamente convergente, allora è anche convergente (senza dimostrazione).

Esercitazione su argomenti del giorno e di riepilogo.

Ventiquattresima lezione 18/05/2022

Equazioni differenziali lineari del primo ordine: soluzione e teorema di esistenza e unicità per il problema di Cauchy (senza dimostrazione). Equazioni differenziali del primo ordine a variabili separabili.

Esercitazione su equazioni differenziali del primo ordine.

Venticinquesima lezione 23/05/2022

Equazioni differenziali lineari del secondo ordine a coefficienti costanti: soluzione generale dell'equazione omogenea e determinazione della soluzione particolare con il metodo della somiglianza in alcuni casi specifici del termine noto (somma/prodotto di funzioni polinomiali, esponenziali e trigonometriche).

Esercitazione su equazioni differenziali lineari del secondo ordine a coefficienti costanti.