Geometria (corso di laurea in Fisica) 2022/2023

Ricevimento

Mercoledì dalle 11 alle 13 nella stanza n. 9 dell' ex-falegnameria (edificio CU036) oppure su appuntamento (scrivere a daniele.valeri@uniroma1.it).

14/11/2022 (2 ore)

Matrici simili e loro proprietà. Spettro e polinomio caratteristico di un matrice quadrata. Endomorfismi, autovettori e autovalori per un endomorfismo.

17/11/2022 (2 ore)

Matrice che rappresenta un endomorfismo in una base fissata. Matrici che rappresentano un endomorfismo in basi differenti sono simili. Traccia, determinante, rango e polinomio caratteristico di un endomorfismo. Endomorfismi triangolabili. Un endomorfismo è triangolabile se e soltanto se il suo polinomio caratteristico ha tutte le radici nel campo.

18/11/2022 (2 ore)

Endomorfismi diagonalizzabili. Autovettori associati ad autovalori distinti sono linearmente indipendenti. Se un endomorfismo ha tutti autovalori distinti nel campo è diagonalizzabile. Molteplicità algebrica e geometrica di autovalori. Criterio di diagonalizzabilità (molteplicità geometrica=molteplicità algebrica).

21/11/2022 (2 ore)

Esempi sulla diagonalizzazione di endomorfismi.

25/11/2022 (2 ore)

Forme bilineari ed esempi. Matrice associata a una forma bilineare in una base fissata. Cambi di base e matrici congruenti. Rango di una forma bilineare. Forme bilineari non degeneri.

28/11/2022 (2 ore)

Forme bilineari simmetriche, antisimmetriche, alternanti e matrici associate in una base fissata. Prodotti scalari su spazi vettoriali reali: (semi)definiti positivi/negativi e indefiniti. Spazi vettoriali metrici, norma e sue proprietà. Disuguaglianza di Cauchy-Schwarz e disuguaglianza triangolare.

01/12/2022 (2 ore)

Angolo compreso tra due vettori e ortogonalità. Vettori ortogonali sono linearmente indipendenti. Basi ortogonali e ortonormali e loro proprietà. Esempio di ortogonalizzazione di Gram-Schmidt.

02/12/2022 (2 ore)

Ortogonalizzazione di Gram-Schimdt. Proiezioni ortogonali e loro proprietà. Decomposizione ortogonale.

05/12/2022 (2 ore)

Aggiunto di un endomorfismo. Endomorfismi simmetrici: loro proprietà ed esempi. Esempio di diagonalizzazione di matrici quadrate simmetriche 2x2 e 3x3. Enunciato del teorema spettrale.

09/12/2022 (2 ore)

Dimostrazione del teorema spettrale. Cambiamenti di base ortonormale. Gruppo ortogonale. Esercizi sul prodotto scalare canonico in R^3.

12/12/2022 (2 ore)

Teorema di Sylvester. Esempi di calcolo della segnatura di prodotti scalari. Criterio di Cartesio.

16/12/2022 (2 ore)

Forme sesquilineari. Matrice associata a una forma sesquilineare in una base fissata. Cambi di base e matrici (complesse) congruenti . Rango di una forma sesquilineare e forme sesquilineari non degeneri. Prodotti Hermitiani ((semi)definiti positivi/negativi e indefiniti) e matrici Hermitiane. Spazi vettoriali Hermitiani e loro proprietà. Basi ortogonali e ortonormali. Cambiamenti di base ortonormale e gruppo unitario. Proiezioni ortogonali e decomposizione ortogonale.

19/12/2022 (2 ore)

Aggiunto di un endomorfismo ed endomorfismi Hermitiani. Gli autovalori di un endomorfismo Hermitiano sono reali. Teorema spettrale per endomorfismi Hermitiani. Teorema di Sylvester per prodotti Hermitiani. Isometrie e matrici ortogonali/unitarie. Riflessioni ortogonali rispetto a un sottospazio. Isometrie del piano.

09/01/2023 (2 ore)

Ripasso su endomorfismi e diagonalizzazione.

10/01/2023 (2 ore)

Ripasso su forme bilineari, prodotti scalari e prodotti Hermitiani.