Appello invernale il 09/01/2023. La registrazione chiude il 05/01/2023.
Secondo appello straordinario il giorno 03/10/2022 (scritto e eventuale orale nello stesso giorno). La registrazione chiude il 26/09/2022.
Appello di settembre: il giorno 12/09/2022 ci sarà lo scritto, eventuali orali il 13 e 15/09/2022. La registrazione chiude il 09/09/2022.
Secondo appello estivo: il giorno 11/07/2022 13/07/2022 ci sarà lo scritto, eventuali orali a partire dal 13/07/2022 il 14 e 15/07/2022. La registrazione chiude l' 08/07/2022.
Primo appello estivo: il giorno 15/06/2022 ci sarà lo scritto, eventuali orali a partire dal 16/06/2022. La registrazione chiude il 13/06/2022.
In preparazione all'esame: a questo link potete trovare la pagina del corso Matematica II tenuto dal Prof. Antonio Cigliola nel 2017/2018 con vari fogli di esercizi per esercitarvi.
Il ricevimento continua dopo la fine delle lezioni con le stesse modalità e orario, ma mandate una mail preventiva per ricevere conferma che il docente è disponibile.
Codice OPIS per la rilevazione opinioni studenti: ERFZHG9U. Istruzioni su come compilare la rilevazione studenti.
Appello straordinario il giorno 08/04/2022. L'esame sarà in presenza. La registrazione chiude il 04/04/2022.
Le lezioni si terranno in presenza in Aula 1 (Corrado Gini) edificio CU002 secondo il seguente orario
Lunedì 14-18
Mercoledì 15-18
e contemporaneamente in streaming sulla piattaforma Zoom collegandosi al seguente link.
La prima lezione è lunedì 21 febbrario 2022.
Giovedì dalle 12 alle 14 nella stanza n. 9 della seconda ex-falegnameria (edificio CU036) oppure online su Zoom (scrivere a daniele.valeri@uniroma1.it per ricevere il link). Per un appuntamento per un orario diverso mandare una mail.
Marcellini P., Sbordone C., Analisi Matematica uno, Liguori Editore.
Marcellini P., Sbordone C., Esercitazioni di Matematica primo volume (prima e seconda parte), Liguori Editore. (Facoltativo)
In alternativa qualsiasi altro testo o eserciziario di analisi matematica uno.
Logica elementare. Teoria elementare degli insiemi. Insiemi numerici. Principio di induzione. Equazioni e disequazioni. Trigonometria.
Per la parte di matematica elementare potete consultare le dispense dei precorsi.
Estremo superiore e inferiore. Successioni e loro limiti. Funzioni reali di una variabile reale. Limiti. Continuità. Teoremi fondamentali sulle funzioni continue. Derivate. Teoremi fondamentali sulle funzioni derivabili. Formula di Taylor. Massimi e minimi relativi e assoluti. Studio del grafico di una funzione. Serie numeriche. Criteri di convergenza. Serie di potenze. Serie di Taylor. Integrali definiti e indefiniti. Funzione integrale e teorema fondamentale. Integrali impropri. Equazioni differenziali ordinarie: equazioni a variabili separabili ed equazioni lineari del primo e del secondo ordine a coefficienti costanti.
L'esame si compone di una prova scritta e di una prova orale.
La prova scritta comprende esercizi, applicazioni pratiche e quesiti di natura teorica. Durante la prova è possibile consultare un foglio A4 (due facciate) sul quale il candidato ha precedentemente annotato (a mano o stampato) tutto ciò che ritiene possa essere d'aiuto per svolgere l'esame. Non è possibile consultare altro o usare calcolatrici.
Per essere ammessi all'orale è necessario avere almeno 18/30 nello scritto. Il candidato che ha superato la prova scritta potrà verbalizzare il minimo fra il voto dello scritto e 24/30 senza sostenere la prova orale.
Il voto di uno scritto vale solo per gli appelli della sessione in cui si è svolto lo scritto: è possibile sostenere l'esame scritto al primo appello e (l'eventuale) orale al secondo appello nella stessa sessione di esami di giugno-luglio.
Appello straordinario dell'08/04/2022: prova scritta.
Appello del 15/06/2022: prova scritta, risultati.
Appello del 13/07/2022: prova scritta, risultati.
Appello del 12/09/2022: prova scritta, risultati.
I risultati contengono solo i voti maggiori o uguali a 18.
Siete invitati a contattare il docente prima della fine delle lezioni (maggio) per concordare in forma privata le eventuali forme dispensative o l’uso di strumenti compensativi da usare durante gli esami e/o il corso.
Numeri naturali, interi, razionali. Irrazionalità della radice di 2. Numeri reali: assiomi algebrici, di ordinamento e di completezza. L'assioma di completezza non vale per i numeri razionali. Funzione modulo e sue proprietà. Disuguaglianza triangolare.
Esercitazione di ripasso su equazioni con i moduli e disequazioni.
Maggiorante e minorante, massimo e minimo, estremo superiore e estremo inferiore. Insiemi limitati e illimitati. Ogni insieme limitato superiormente (inferiormente) ammette estremo superiore (inferiore). Principio di Archimede. I numeri razionali sono densi nei reali.
Esercitazione su estremi superiore e inferiore.
Esercizi 1 e 2 lezione precedente. Principio di induzione. Disuguaglianza di Bernoulli.
Definizione di funzione. Composizione di funzioni e grafico di funzioni. Funzioni iniettive, suriettive e invertibili. Funzioni monotone e strettamente monotone. Legame tra stretta monotonia e invertibilità. Funzioni elementari: retta, funzione potenza, funzione esponenziale, funzione logaritmo.
Funzioni trigonometriche e funzioni trigonometriche inverse.
Esercitazione su domini di funzioni e funzioni elementari.
Alcuni richiami su esercizi della lezione precedente. Traslazione di grafici di funzioni. Funzioni pari e dispari.
Definizione di successione ed esempi. Limite finito di una successione e sua unicità. Successioni divergenti e successioni che non ammettono limite. Successioni limitate. Ogni successione convergente è limitata (il viceversa in generale non vale, vedi a_n=(-1)^n). Operazioni con i limiti. Forme indeterminate. Esempi: limiti di funzioni razionali e alcuni modi di trattare forme indeterminate.
Teorema della permanenza del segno. Metodo del confronto e Teorema dei carabinieri. Il prodotto di una successione che tende a zero per una successione limitata tende a zero. Alcuni limiti notevoli.
Esercitazione sui limiti di successione (l'esercizio 2(v) nel pdf è leggermente diverso da quello apparso lezione).
Alcuni richiami su esercizi della lezione precedente.
Successioni monotone. Ogni successione limitata e monotona è convergente (il viceversa in generale non vale, vedi a_n=(-1)^n/n). Limite notevole che definisce il numero di Nepero. Criterio del rapporto. Infiniti di ordine crescente. Sottosuccessioni e Teorema di Bolzano-Weierstrass (senza dimostrazione).
Ancora esercizi sui limiti di successioni.
Alcuni richiami su esercizi della lezione precedente.
Intorno di un punto e punti di accumulazione di un insieme. Limiti di funzioni e legame con i limiti di successioni. Esempi e proprietà dei limiti di funzione.
Esercitazione su limiti di funzioni.
Soluzione di alcuni esercizi della lezione precedente.
Funzioni continue ed esempi: polinomi, funzioni razionali, funzione potenza, funzioni esponenziale e logaritmo, e funzioni trigonometriche sono continue nel loro dominio. Funzioni discontinue ed esempi. Classificazione dei punti di discontinuità: discontinuità eliminabili e non eliminabili (prima specie e seconda specie). La funzione parte intera.
Teoremi sulle funzioni continue: teorema di permanenza del segno e teorema di esistenza degli zeri.
Esercitazione su funzioni continue/discontinue.
Teoremi sulle funzioni continue: Teorema di Weierstrass (senza dimostrazione) e Teorema di esistenza dei valori intermedi. Criterio di invertibilità per funzioni continue strettamente monotone. Limiti delle funzioni monotone. Criterio di continuità per le funzioni monotone . L'inversa di una funzione continua strettamente monotona è una funzione continua.
Esercitazione sulle funzioni continue e invertibili.
Derivata e suo significato. Derivabilità e continuità. Operazioni sulle derivate. Derivata di funzioni composte. Derivata di funzioni inverse (senza dimostrazione). Calcolo delle derivate di funzioni elementari.
Esercitazione su calcolo di derivate.
Richiami su esercizi della lezione precedente.
Derivate di ordine superiore ed esempi. Significato geometrico della derivata: retta tangente.
Esercitazione su calcolo di derivate e rette tangenti.
Massimo e minimo assoluti e relativi, e Teorema di Fermat. Teoremi di Rolle e Lagrange e interpretazione geometrica. Criterio di monotonia (con dimostrazione) e criterio di stretta monotonia (senza dimostrazione). Caratterizzazione delle funzioni costanti su un intervallo. Esempi.
Esercitazione sugli argomenti del giorno.
Funzioni concave e convesse e legame con la derivata seconda. Teorema di l'Hopital (dimostrazione usando ipotesi aggiuntive). Studio del grafico di una funzione: dominio, asintoti, crescenza/decrescenza, concavità/convessità.
Esercitazione sull'uso del teorema di l'Hopital e sullo studio di funzioni.
Esempio di studio del grafico di una funzione.
Formula di Taylor. Resto di Lagrange (solo enunciato). Sviluppi di Tayolor delle funzioni elementari. Esercizi sulla formula di Taylor e calcolo di limiti.
Esercitazione sulla formula di Taylor.
Richiami sulla formula di Taylor e esercizi della lezione precedente. Criterio per determinare massimi, minimi e flessi tramite le derivate. Riepliogo dei principali risultati riguardanti le funzioni continue e derivabili.
Esercizi di riepilogo su funzioni continue e derivabili.
Area di un settore di parabola con il metodo di esaustione. Definizione di funzione integrabile secondo Riemann. Proprietà dell'integrale definito: linearità, monotonia, relazione tra integrale del valore assoluto e valore assoluto dell'integrale. Criterio di integrabilità (senza dimostrazione). Le funzioni continue in un intervallo chiuso e limitato sono integrabili. Primo e secondo teorema della media integrale.
Funzione integrale e primitive. Teorema fondamentale del calcolo integrale e formula fondamentale del calcolo integrale. Integrali indefiniti. Calcolo di integrali indefiniti di funzioni elementari. Integrazione per decomposizione in somma.
Esercizi su integrali definiti e indefiniti.
Integrazione delle funzioni razionali. Integrazione per parti.
Esercitazione sugli argomenti del giorno.
Soluzione di alcuni esercizi della lezione precedente.
Integrazione per sostituzione. Esempi di calcolo di aree di figure piane.
Esercitazione sull'integrazione per sostituzione.
Integrale improprio.
Serie: definizioni, esempi e proprietà. Condizione necessaria per la convergenza di una serie. Serie a termini non negativi. La serie armonica generalizzata.
Esercitazione sugli integrali impropri.
Criteri di convergenza per serie a termini non negativi: criterio del confronto, degli infinitesimi, della radice e del rapporto. Serie di Taylor (solo definizione).
Esercitazione sui criteri di convergenza.
Risoluzione di alcuni esercizi delle lezioni 21 e 22.
Serie geometrica. Serie alternate e criterio di Leibniz. Convergenza assoluta. Se una serie è assolutamente convergente, allora è anche convergente (senza dimostrazione).
Esercitazione su argomenti del giorno e di riepilogo.
Equazioni differenziali lineari del primo ordine: soluzione e teorema di esistenza e unicità per il problema di Cauchy (senza dimostrazione). Equazioni differenziali del primo ordine a variabili separabili.
Esercitazione su equazioni differenziali del primo ordine.
Equazioni differenziali lineari del secondo ordine a coefficienti costanti: soluzione generale dell'equazione omogenea e determinazione della soluzione particolare con il metodo della somiglianza in alcuni casi specifici del termine noto (somma/prodotto di funzioni polinomiali, esponenziali e trigonometriche).
Esercitazione su equazioni differenziali lineari del secondo ordine a coefficienti costanti.
Correzione di alcuni esercizi delle lezioni precedenti.
Metodo di variazione delle costanti per trovare la soluzione particolare di un'equazione differenziale lineare del secondo ordine a coefficienti constanti.
Esercitazione finale.