Tutte le informazioni sono reperibili alla pagina del corso del prof. Marco Manetti.
Codice OPIS per la rilevazione opinioni studenti (sulla mia parte di corso): RH16MLIQ.
Mercoledì dalle 11 alle 13 nella stanza n. 9 dell' ex-falegnameria (edificio CU036) oppure su appuntamento (scrivere a daniele.valeri@uniroma1.it).
Matrici simili e loro proprietà. Spettro e polinomio caratteristico di un matrice quadrata. Endomorfismi, autovettori e autovalori per un endomorfismo.
Matrice che rappresenta un endomorfismo in una base fissata. Matrici che rappresentano un endomorfismo in basi differenti sono simili. Traccia, determinante, rango e polinomio caratteristico di un endomorfismo. Endomorfismi triangolabili. Un endomorfismo è triangolabile se e soltanto se il suo polinomio caratteristico ha tutte le radici nel campo.
Endomorfismi diagonalizzabili. Autovettori associati ad autovalori distinti sono linearmente indipendenti. Se un endomorfismo ha tutti autovalori distinti nel campo è diagonalizzabile. Molteplicità algebrica e geometrica di autovalori. Criterio di diagonalizzabilità (molteplicità geometrica=molteplicità algebrica).
Esempi sulla diagonalizzazione di endomorfismi.
Forme bilineari ed esempi. Matrice associata a una forma bilineare in una base fissata. Cambi di base e matrici congruenti. Rango di una forma bilineare. Forme bilineari non degeneri.
Forme bilineari simmetriche, antisimmetriche, alternanti e matrici associate in una base fissata. Prodotti scalari su spazi vettoriali reali: (semi)definiti positivi/negativi e indefiniti. Spazi vettoriali metrici, norma e sue proprietà. Disuguaglianza di Cauchy-Schwarz e disuguaglianza triangolare.
Angolo compreso tra due vettori e ortogonalità. Vettori ortogonali sono linearmente indipendenti. Basi ortogonali e ortonormali e loro proprietà. Esempio di ortogonalizzazione di Gram-Schmidt.
Ortogonalizzazione di Gram-Schimdt. Proiezioni ortogonali e loro proprietà. Decomposizione ortogonale.
Aggiunto di un endomorfismo. Endomorfismi simmetrici: loro proprietà ed esempi. Esempio di diagonalizzazione di matrici quadrate simmetriche 2x2 e 3x3. Enunciato del teorema spettrale.
Dimostrazione del teorema spettrale. Cambiamenti di base ortonormale. Gruppo ortogonale. Esercizi sul prodotto scalare canonico in R^3.
Teorema di Sylvester. Esempi di calcolo della segnatura di prodotti scalari. Criterio di Cartesio.
Forme sesquilineari. Matrice associata a una forma sesquilineare in una base fissata. Cambi di base e matrici (complesse) congruenti . Rango di una forma sesquilineare e forme sesquilineari non degeneri. Prodotti Hermitiani ((semi)definiti positivi/negativi e indefiniti) e matrici Hermitiane. Spazi vettoriali Hermitiani e loro proprietà. Basi ortogonali e ortonormali. Cambiamenti di base ortonormale e gruppo unitario. Proiezioni ortogonali e decomposizione ortogonale.
Aggiunto di un endomorfismo ed endomorfismi Hermitiani. Gli autovalori di un endomorfismo Hermitiano sono reali. Teorema spettrale per endomorfismi Hermitiani. Teorema di Sylvester per prodotti Hermitiani. Isometrie e matrici ortogonali/unitarie. Riflessioni ortogonali rispetto a un sottospazio. Isometrie del piano.
Ripasso su endomorfismi e diagonalizzazione.
Ripasso su forme bilineari, prodotti scalari e prodotti Hermitiani.
Vacanze di Natale 2021-2022: esercizi di teoria su forme sesquilineari e Hermitiane.
Vacanze di Natale 2020-2021: esercizi su prodotti scalari e Hermitiani.
(non sono link a dei film dei fratelli Vanzina, ma a delle schede di esercizi prese dalla pagina web del Prof. Simone Diverio.)